Mathématiques du poker : probabilités, cote et EV
Compter les mains de départ
Au Hold'em avec 52 cartes, sans information sur les cartes retirées, il existe 52×51/2 = 1 326 mains de départ non ordonnées équiprobables. AA ou KK représente 12 combinaisons, soit 0,905 % ; n'importe quelle paire, 78/1 326 = 5,882 % ; AK assortis, 4/1 326 = 0,302 % ; AK dépareillés, 12/1 326 = 0,905 %. « Assortis » signifie de la même couleur, pas de rangs proches.
La cote d'un call
Si le pot contient 100 avant une mise adverse de 50, vous payez 50 pour un pot final de 200. La cote offerte est 150:50, soit 3:1, et le seuil d'équité est 50/200 = 25 %. Si les 100 incluent déjà la mise adverse, le pot final est 150 et le seuil devient 33,3 %. Précisez donc toujours le moment où le pot est mesuré. Comparer directement équité et seuil suppose notamment un duel sans frais ni mises futures, où l'équité est réalisée.
Toucher un tirage n'est pas toujours gagner
Avec quatre cartes d'une couleur parmi vos deux cartes et le flop, neuf cartes de cette couleur restent parmi 47 inconnues. Sans autre information, toucher au turn vaut 9/47 = 19,15 % ; d'ici la river, 1−(38/47)×(37/46) = 34,97 %, à condition de voir les deux cartes. La règle de 2 et 4 donne des approximations de 18 % et 36 %, pas des égalités. Compléter une couleur ne garantit pas de gagner : couleur supérieure, full adverse et cartes révélées modifient l'analyse. L'équité inclut les victoires et la part des pots partagés.
Cotes implicites et EV nette
Les cotes implicites considèrent les gains supplémentaires possibles sur les streets suivantes, sans garantir que l'adversaire paiera. Les cotes implicites inversées décrivent au contraire le risque de pertes supplémentaires, notamment avec une main dominée. Il faut modéliser les branches et leurs coûts, pas ajouter toutes les mises futures comme un gain certain. L'EV est la somme des résultats nets pondérés par leur probabilité : 40 % de chances de gagner net 200 et 60 % de perdre 100 donnent 0,4×200−0,6×100 = 20, pas 80.